Coronavirus en Argentina: la fórmula matemática que explica por qué no es lo mismo un test positivo que un infectado
Viernes 22 de Mayo de 2020, 16:23
Colas en Buenos Aires para hacer el test rápido. La información que reciben los pacientes que dan positivo es una probabilidad de que hayan tenido el virus, pero no es concluyente. Foto: Mario QuinterosDos matemáticos del Conicet, Alicia Dickenstein y Mario Groisman, explican que los testeos rápidos tienen un alto margen de falsos positivos, por lo que no dan un “certificado de inmunidad”. Pero los datos epidemiológicos que ofrecen son muy valiosos.
Hay muchas palabras y conceptos que nos resultaban desconocidos o lejanos hasta hace muy poco y que con la pandemia han comenzado a rondarnos. Por ejemplo, SARS-CoV-2 (el coronavirus del que todos hablamos), Covid-19 (la enfermedad producida por la infección con este coronavirus) y los famosos tests.
Los especialistas han tratado de explicar que hay dos tipos de pruebas: una para detectar mediante una muestra de sangre anticuerpos IgM / IgG (células especiales de nuestro cuerpo que nos defienden de las infecciones) y otra para detectar el virus, testeo conocido como PCR, que se hace a partir de un hisopado.
La matemática nos permite responder a preguntas como: si a mí un test de anticuerpos me dio positivo, ¿es seguro que tenga los anticuerpos? ¿Puedo despreocuparme y solicitar un certificado de inmunidad? Si la respuesta es no, ¿para qué sirve hacer ese test?
Los tests suelen reportar su performance mediante dos números: la sensibilidad y la especificidad. Para un test de anticuerpos, la primera indica la probabilidad de que a una persona que tiene los anticuerpos, el test le dé positivo y la segunda, la probabilidad de que a una persona que no los tiene, le dé negativo. Para los que se incomodan con la palabra "probabilidad", podemos reemplazarla por la noción de "porcentaje".
Supongamos que un test de anticuerpos (también conocido como serológico) tiene 90% de sensibilidad y 80% de especificidad. Si se testean 100 personas elegidas al azar y el resultado es que 27 tests dan un resultado positivo y que 73 dan negativo. ¿Es cierto que los 27 positivos tienen realmente los anticuerpos?
La respuesta, como ya se imaginan, es que no. Ninguno de los 27 puede estar seguro, solo por el resultado de este test, que tiene los anticuerpos. Sin embargo, puede estimarse matemáticamente el porcentaje de la población que tiene los anticuerpos. De hecho, basta con resolver una ecuación lineal como las que nos enseñan en la escuela secundaria.
Esa ecuación contempla que de los 27 tests que resultaron positivos, esperamos que una parte provenga de personas con anticuerpos a las que el test les dio positivo (el 90% de ellos), y otra parte de personas sin anticuerpos a las que el test les dio positivo (falsos positivos, el 20% de los que no tienen anticuerpos).
Si llamamos p al porcentaje de individuos con anticuerpos, la ecuación a resolver es 90 p + 20 (100 - p) = 2700. El 90% de los que tienen anticuerpos y el 20% de los que no lo tienen contribuyen para obtener los 27 tests positivos.
Lo bueno es que podemos despejar la ecuación y entonces estimar el porcentaje de personas que realmente tienen anticuerpos en la población. Resolviendo la ecuación en este caso, se obtiene que ese porcentaje es del 10%.
De hecho, como la sensibilidad es del 90%, se espera que el test dé positivo en el 90% de estas 10 personas con anticuerpos, es decir en 9 de ellos (y negativo en 1). Por otro lado, como la especificidad es del 80%, se espera que el test dé negativo en el 80% de las 90 personas sin anticuerpos (los negativos), es decir en 72 personas (y positivo en las 90-72=18 personas restantes).
Luego, en total habrá 9 + 18 = 27 resultados positivos, de los cuales solo 9 tienen anticuerpos, ¡pero no podemos saber cuáles! Por otro lado, habrá 1 + 72 = 73 resultados negativos, pero tampoco podemos saber cuál es el que sí tiene anticuerpos.
Es decir que no podemos darle a ninguno de los 27 positivos un certificado de inmunidad, pero sí pudimos obtener información valiosa. Luego podrían separarse los 27 posibles positivos y realizarles un test mediante hisopado para determinar la presencia de material genético viral. Aunque este test tenga su propia sensibilidad y especificidad, se detectarán los casos positivos con mucha más certeza.
Pero más allá de eso, conocer la sensibilidad y la especificidad del test -incluso cuando estas no son tan altas como uno querría-, nos permite estimar el porcentaje de individuos con anticuerpos en la población, que es un dato importante desde el punto de vista epidemiológico. Las autoridades sanitarias pueden así monitorear la evolución de la epidemia.
¿Por qué querría uno usar un test con sensibilidad y especificidad no tan altas en lugar de uno en que ambas sean altas? Bueno, hay otras variables que entran en juego: costo, disponibilidad de insumos, recursos (humanos y materiales) y tiempo necesarios para obtener el resultado, etc. Si se gana por alguno de estos aspectos, un test así puede estar accesible para testear a mucha más gente. De ahí lo interesante de los argumentos que acabamos de discutir.
Para los que se sienten más confortables con la matemática, contamos ahora otros detalles importantes e interesantes que pueden sonar paradojales, basados en lo que se conoce como probabilidades condicionales a posteriori.
Ya vimos en el ejemplo anterior que en el grupo de 100 personas estimamos que hay 10% con anticuerpos, a pesar de que el test arroja 27 positivos. Además, esperamos que la mayoría de los positivos (18 de ellos, o sea las 2/3 partes de 27) no tengan anticuerpos. Es decir que entre todos los positivos, esperamos que solo la tercera parte tenga los anticuerpos. Este fenómeno aparece cuando el porcentaje de la población que tiene los anticuerpos -que se denomina prevalencia- es bajo.
Volviendo a nuestra pregunta, si una persona obtuvo un test positivo ¿qué tan probable es que tenga los anticuerpos del SARS-CoV-2? Vamos a ver que esa probabilidad puede ser muy chica, aunque el test sea muy bueno, porque la prevalencia del Covid-19 en Argentina es muy baja. Al menos por ahora.
Vamos a estimar a la cantidad de infectados reales con un número varias veces superior a los casos confirmados al día de hoy. Unos 150.000 casos. Si fueran menos, la probabilidad que calcularemos sería más baja todavía. Esa cantidad de gente es aproximadamente el 0,3% de la población del país. Quiere decir que si elegimos un grupo muy grande de personas al azar (si eso fuera posible), tendríamos que armar un grupo de 1.000 personas para encontrar aproximadamente unos 3 infectados.
En un grupo de 300 esperaríamos encontrar uno o ninguno. Si pudiéramos armar ese grupo de 1000 personas y testearlas, obtendríamos entre 10 y 11 tests positivos (ojo, a no confundirlos con los 3 con anticuerpos) y nos gustaría saber cuál es la probabilidad, para cada uno de ellos, de tener los anticuerpos. Para hacer un buen análisis tendríamos que refinar los datos de infectados de acuerdo a las distintas localidades, pero no queremos complicar más los argumentos.
En el Siglo XVIII Thomas Bayes y Pierre-Simon de Laplace se dieron cuenta de que era posible invertir probabilidades para resolver este problema: obtener la probabilidad de estar infectado sabiendo que un test dio positivo a partir de la probabilidad de que el test dé positivo, sabiendo que ha sido infectado. Esta última es la sensibilidad (conocida) y la primera es la que queremos calcular.
El famoso Teorema de Bayes dice que el porcentaje de infectados esperados entre los que tuvieron un test positivo, es igual al producto de la sensibilidad por la prevalencia, dividido por el porcentaje de tests positivos esperados.
Si tomamos -por poner un ejemplo- el test rápido que tiene una sensibilidad del 93,8% y una especificidad del 95,6%, esa cuenta da 6%. Es decir que si nos testearon y nos dio positivo, la probabilidad de que tengamos los anticuerpos es de 6 en 100.
Bajísima. A pesar de haber tenido un test positivo.
¿Eso quiere decir que el test es malo? No. El problema es que la probabilidad de estar infectado es muy baja. Pero cabe observar que saber que tenemos un test positivo aumenta muchísimo la probabilidad de estar infectados: pasó de 3 en 1.000 (antes de contar con la información que provee el test) a 3 en 50 (luego de tener un resultado positivo en el test). El test hizo bien su trabajo, al dar positivo, hizo que la probabilidad de tener los anticuerpos aumentara 20 veces. El problema es que sigue siendo baja.
Alicia Dickenstein y Pablo Groisman son matemáticos. AD es Profesora Titular Plenaria de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UBA e Investigadora Superior del Conicet. Es Miembro Titular de la Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Argentina. PG es Profesor Asociado de la Facultad de Ciencias Exactas de la UBA e Investigador Independiente del Conicet. /Clarín
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